Conjetura de Euler

La conjetura de Euler, también conocida como la conjetura de la suma de potencias de Euler, es una conjetura matemática refutada, relacionada con el último teorema de Fermat. Fue propuesta por Leonhard Euler en 1769. Establece que para todos los números enteros n y k mayores que 1, si la suma de n k-ésimas potencias de enteros positivos es en sí misma una k-ésima potencia, entonces n es mayor o igual que k:

a k
1  a k
2  ... a k
n  = b^k ⇒ n ≥ k

La conjetura representa un intento de generalizar el último teorema de Fermat, que es un caso especial de n = 2: si a k
1  a k
2  = b^k, entonces 2 ≥ k.

Aunque la conjetura es válida para el caso k = 3 (que se sigue del último teorema de Fermat para las terceras potencias), fue refutada para k = 4 y k = 5. Se desconoce si la conjetura falla o es válida para cualquier valor k ≥ 6.

Trasfondo

Euler era consciente de la igualdad 59⁴ 158⁴ = 133⁴ 134⁴ que involucra sumas de potencias a la cuarta potencia. Sin embargo, no se trata de un contraejemplo porque ningún término está aislado en un lado de la ecuación. También proporcionó una solución completa al problema de los cuatro cubos como en el número de Platón 3³ 4³ 5³ = 6³ o el número taxicab 1729.^[1]​^[2]​ La solución general de la ecuación

${\displaystyle x_{1}^{3} x_{2}^{3}=x_{3}^{3} x_{4}^{3}}$

es

${\displaystyle x_{1}=1-(a-3b)(a^{2} 3b^{2}),\quad x_{2}=(a 3b)(a^{2} 3b^{2})-1}$

${\displaystyle x_{3}=(a 3b)-(a^{2} 3b^{2})^{2},\quad x_{4}=(a^{2} 3b^{2})^{2}-(a-3b)}$

donde a y b son enteros cualesquiera.

Contraejemplos

La conjetura de Euler fue refutada por Leon Lander y Thomas Parkin en 1966 cuando, a través de una búsqueda directa por computadora en un CDC 6600, encontraron un contraejemplo para k = 5.^[3]​ Este descubrimiento se publicó en un artículo que constaba de solo dos frases.^[3]​ Se conocen un total de tres contraejemplos primitivos (es decir, en los que no todos los sumandos tienen un factor común):

27⁵ 84⁵ 110⁵ 133⁵ = 144⁵ (Lander & Parkin, 1966),

(−220)⁵ 5027⁵ 6237⁵ 14068⁵ = 14132⁵ (Scher & Seidl, 1996), and

55⁵ 3183⁵ 28969⁵ 85282⁵ = 85359⁵ (Frye, 2004).

En 1988, Noam Elkies publicó un método para construir una serie infinita de contraejemplos para el caso k = 4.^[4]​ Su contraejemplo más pequeño es

2682440⁴ 15365639⁴ 18796760⁴ = 20615673⁴.

Un caso particular de las soluciones de Elkies se puede reducir a la identidad^[5]​^[6]​

(85v² 484v − 313)⁴ (68v² − 586v 10)⁴ (2u)⁴ = (357v² − 204v 363)⁴

donde

u² = 22030 28849v − 56158v² 36941v³ − 31790v⁴.

Esta es una curva elíptica con un punto racional en v₁ = −31/467. A partir de este punto racional inicial, se puede calcular una colección infinita de otros puntos. La sustitución de v₁ en la identidad y la eliminación de factores comunes genera el ejemplo numérico citado anteriormente.

En 1988, Roger Frye encontró el contraejemplo más pequeño posible para k = 4

95800⁴ 217519⁴ 414560⁴ = 422481⁴

realizando una búsqueda informática directa mediante técnicas sugeridas por Elkies. Esta solución es la única con valores de las variables por debajo de 1.000.000.^[7]​

Generalizaciones

En 1967, LJ Lander, TR Parkin y John Selfridge conjeturaron^[8]​ que si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$ ,

donde a_i ≠ b_j son números enteros positivos para todo 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ m, entonces m n ≥ k. En el caso especial m = 1, la conjetura establece que si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$

bajo las condiciones dadas anteriormente, entonces n ≥ k − 1.

El caso especial puede describirse como el problema de dividir una potencia perfecta en potencias similares. Para k = 4, 5, 7, 8 y n = k o k − 1, hay muchas soluciones conocidas. Algunas de ellas se enumeran a continuación. En 2002 no se habían hallado soluciones para ${\displaystyle k=6}$, cuyo término final es ≤ 730000.^[9]​

k = 3

3 3  4 3  5 3  = 6 3  (Número de Platón 216)

Este es el caso a = 1, b = 0 de la fórmula de Srinivasa Ramanujan

${\displaystyle (3a^{2} 5ab-5b^{2})^{3} (4a^{2}-4ab 6b^{2})^{3} (5a^{2}-5ab-3b^{2})^{3}=(6a^{2}-4ab 4b^{2})^{3}.}$ ^[10]​

Un cubo como la suma de tres cubos también se puede parametrizar como

${\displaystyle a^{3}(a^{3} b^{3})^{3}=b^{3}(a^{3} b^{3})^{3} a^{3}(a^{3}-2b^{3})^{3} b^{3}(2a^{3}-b^{3})^{3}}$

o como

${\displaystyle a^{3}(a^{3} 2b^{3})^{3}=a^{3}(a^{3}-b^{3})^{3} b^{3}(a^{3}-b^{3})^{3} b^{3}(2a^{3} b^{3})^{3}.}$ ^[10]​

El número 2 100 000³ se puede expresar como la suma de tres cubos de nueve formas diferentes.^[10]​

k = 4

95800⁴ 217519⁴ 414560⁴ = 422481⁴ (R. Frye, 1988)^[4]​

30⁴ 120⁴ 272⁴ 315⁴ = 353⁴ (R. Norrie, 1911)^[8]​

Esta es la solución más pequeña al problema de R. Norrie.

k = 5

27⁵ 84⁵ 110⁵ 133⁵ = 144⁵ (Lander & Parkin, 1966)^[11]​^[12]​^[13]​

19⁵ 43⁵ 46⁵ 47⁵ 67⁵ = 72⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)^[8]​

21⁵ 23⁵ 37⁵ 79⁵ 84⁵ = 94⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, second smallest, 1967)^[8]​

7⁵ 43⁵ 57⁵ 80⁵ 100⁵ = 107⁵ (Sastry, 1934, third smallest)^[8]​

k = 7

127⁷ 258⁷ 266⁷ 413⁷ 430⁷ 439⁷ 525⁷ = 568⁷ (M. Dodrill, 1999)^[14]​

k = 8

90⁸ 223⁸ 478⁸ 524⁸ 748⁸ 1088⁸ 1190⁸ 1324⁸ = 1409⁸ (S. Chase, 2000)^[15]​

Véase también

• Conjetura de Beal
• Cuádruple pitagórico
• Número de taxi generalizado

Referencias

Enlaces externos

• Tito Piezas III, una colección de identidades algebraicas Archivado el 1 de octubre de 2011 en Wayback Machine.
• Jaroslaw Wroblewski, sumas iguales de potencias similares
• Ed Pegg Jr., Juegos de matemáticas, Power Sums
• James Waldby, Una tabla de quintas potencias igual a un quinto poder (2009)
• R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, Todas las soluciones de la ecuación diofántica a ⁶ b ⁶ = c ⁶ d ⁶ e ⁶ f ⁶ g ⁶ para a, b, c, d, e, f, g <250000 encontradas con un proyecto distribuido de Boinc
• EulerNet: Cálculo de sumas mínimas iguales de potencias similares
• Conjetura de Euler en library.thinkquest.org
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